Trägheitsnavigation

Bei der Trägheitsnavigation kommen Inertialsensoren zum Einsatz, die auf Basis der Massenträgheit drei zueinander orthogonale translatorische und drei rotatorische Anteile einer Objektbewegung messen, um auf die Bewegung zurückzuschließen. Wie gut das mit günstigen Sensoren funktioniert, wie sie in modernen Handys verbaut sind oder zum Beispiel auf dem STM32 F3 Discovery Dev-Board zu finden sind, gilt heraus zu finden.

Gyroskop

liefert Orientierung(?) oder Drehgeschwindigkeit je nach Sensortyp(?). Die kleinen MEMS Gyroskope geben uns die Drehgeschwindigkeit.

Interessante Links dazu:

• Noise Characteristics of MEMS Gyro’s Null Drift and Temperature Compensation

Beschleunigungssensoren

liefern Beschleunigungen. Aufgrund der Erdanziehung ist typischerweise zu erwarten, dass der gemessene Beschleunigungsvector die Summe aus tatsächlicher Beschleunigung und 1g nach oben ist. Dazu kommen dann natürlich noch Messfehler und systematische Fehler.

Probleme

• Messdaten sind verrauscht und haben einen Bias. Stärke des Rauschens und der Bias selbst sind auch Temperaturabhängig. Wie man das so mitbekommt, sind gerade MEMS Gyroskope stark temperaturabhängig, warum man auch in einigen Chips ein Thermometer integriert ist.

• Integration in Kombination mit Messrauschen ist "fies", sehe Abschnitt "Integration als Filter begreifen".

Integration als Filter begreifen

Wir kommen über Integration von Beschleunigung auf Geschwindigkeit und von Geschwindigkeit auf Position im Falle von Accelerometern. Bei Gyroskopen messen wir die Drehgeschwindigkeit und können per Integration die Orientierung bestimmen. Man kann dabei einen Integrator als Filter verstehen, der tiefe Frequenzen verstärkt und hohe Frequenzen dämpft. Genauer gesagt gibt es bei der Integration über die Zeit in Sekunden eine Amplitudenübertragung von 1/(2*pi*f), wobei f die Frequenz in Hz ist, und eine Phasenverschiebung von -90°. Dieses Filter arbeitet natürlich auch auf dem Messrauschen, weswegen die tieffrequenten Anteile (einschließlich eines Fehler-Offsets) leider kaum zu gebrauchen sind. Der aufmerksame Leser wird gemerkt haben, dass der DC-Offsent wegen 1/f sich unendlich verstärkt ... also mit der Zeit davon läuft. In IIR-Filter-Sprech ist das Ding "unstabil".

Herstellerangaben zur Genauigkeit

In den Datenblättern der Sensoren findet sich so das eine oder andere Interessante. Beispielsweise Angaben zum Rauschverhalten. Diese können da in X pro Wurzel-Hertz stehen, wobei X eine Einheit der Messgröße ist, z.B. Grad pro Sekunde für einen Gyro oder Milli-G für ein Beschleunigungsmesser. Bei dieser Angabe handelt es sich um die Wurzel der spektrale Leistungsdichte des Rauschens. Diese Angabe sagt einem den RMS-Wert des Rauschens bei einer Bandbreite von einem Hertz. Aber dieser Wert skaliert eben nur mit der Wurzel der Bandbreite. Man erhält also den 10fachen RMS-Wert bei einem Frequenzband von 100 Hz -- unter der Annahme, dass die Leistungsdichte im Spektrum konstant ist.

Eine andere Angabe, die man bei Gyros findet, ist auch der ARW, angular random walk. Der Wird bei Gyros in Grad pro Wurzel-Stunde angegeben. Er sagt einem die Rausch-induzierte Streuung in Grad, wenn man das Signal eine Stunde lang integriert. Mit dieser Angabe kann man eher etwas anfangen; denn er sagt einem gleich, welche Genauigkeit in Grad man nach Integration von einer Stunde hat. Dieser Wert skaliert auch mit der Wurzel der Zahl der Stunden.

Was noch so nützlich sein könnte

• Kalman Filter
• Complementary Filter

Programmcode/Algorithmen

• sg hat was gebastelt, ist aber noch relativ experimentell. Hier schonmal ein paar schön polierte Matlab/Octave-Funktionen bezüglich Rotationsmatrizen:
  • vxm.m Kreuzprodukt als Matrix
  • rodrigues.m Implementierung der Rodrigues-Formel
  • rotify.m Approximations- und Rundungsfehlerkompensation für Rotationsmatrizen
• OpenShoe-Projekt

Rotationen

Aus einer 3-achsigen Drehgeschwindigkeit vrot in rad/s und einer Zeitspanne delta_t in Sekunden lässt sich ein 3-achsiger Rotationswinkel über a=vrot*delta_t in rad bestimmen. Die drei Winkel ax, ay und az lassen sich per Rodrigues-Formel in eine Rotationsmatrix umwandeln. Allerdings erfordert die Auswertung dieser Formel eine Wurzel für die 2-Norm ||a|| von a sowie die Berechnung von sin(||a||) und cos(||a||).

R = I + f1 [a] + f2 [a]^2 
                           
mit
       |  0  -az  ay |   n = ||a||
[a] := |  az  0  -ax |   f1 = sin(n)/n
       | -ay  ax  0  |   f2 = (1-cos(n))/n^2

Für sehr kleine Drehwinkel könnte man eine Linearisierung verwenden, f1=1 und den quadratischen Teil weglassen f2=0. So käme man ohne komplizierte Funktionen wie sqrt für n, sin und cos für f1, f2 aus. Man beachte aber, dass bei solchen Approximationen für f1 und f2 in der Ebene, in der rotiert wird, der Drehwinkel fehlerbehaftet ist und in der Ebene auch eine nicht gewollte Skalierung stattfindet. Die Skalierungsfehler lassen sich aber relativ leicht wieder kompensieren. Für eine Näherung zweiter Ordnung kommt der quadratische Teil mit f2=0.5 einfach dazu. Diese Werte f1=1 und f2=0.5 sind die Grenzwerte der exakten Formeln für n gegen 0. Das Spiel lässt sich beliebig fortführen über eine abgebrochene Taylorreihe. So ist die Approximation 4. Ordnung beispielsweise gegeben durch

Visualisierung der Approximationen für Rotationen, 0-90° in Schritten von 10°

R_4th = I + (1 - n^2/6) [a] + (1/2 - n^2/24) [a]^2

Hier gibt es klar einen Performance/Genauigkeits-Zielkonflikt. Ist die Abtastrate hoch genug und dementsprechend die Drehwinkel klein, reicht wahrscheinlich die Näherung 2. Ordnung; denn es gibt ja auch noch das Messrauschen, was ggf einen viel stärkeren Einfluss auf die Genauigkeit hat als die Approximationsfehler der Rodrigues-Formel.

Die verschiedenen Genauigkeiten dieser Approximationen lassen sich als verschiedene Näherung eines Kreisbogens darstellen. Siehe Bild rechts. Der Punkt rechts unten im Bild (1;0) ist der 0°-Punkt, in dem sich alle Formeln einig sind. Mit steigendem Winkel gehen sie dann auseinander.

"Integration von Rotationen" bedeutet im Wesentlichen das Aneinandermultiplizieren von vielen kleinen Rotationsmatrizen. Die dabei entstehenden Rundungsfehler pflanzen sich leider fort und führen dazu, dass die resultierende Matrix nicht mehr viel mit einer Rotationsmatrix gemein haben muss; denn es gibt es 9 Freiheitsgrade bei 3x3-Matritzen von denen nur eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit die Menge der Rotationsmatrizen darstellt. Man muss also ab und zu seine Matrix irgendwie geschickt auf diese Mannigfaltigkeit der Rotationsmatrizen projizieren. Code dafür ist vorhanden (siehe rotify.m). Wer das verstehen will, fragt am besten mal sg nach einer Erklärung.

Ideen/Strategien/TODO

• Die Sensoren "richtig" betreiben, für ein regelmäßig mit einer bestimmten Abtastrate abgetastetes Zeitsignal. Vielleicht ist dafür der FIFO-Modus da. Im Moment mach ich mir sorgen um Aliasing und dass etwas verloren geht.
• Mal so ein Rauschsignal der versch. Sensoren "richtig" angucken (Leistungsdichtespektrum). Die Leistungsdichte um 0 Hz wird dann auch Aufschluss darüber geben, wie genau man überhaupt noch nach einer Stunde Integration sein kann, wenn alles korrekt kalibriert wurde.
• Temperaturabhängigkeit nochmal checken über einem größeren Bereich mit mehreren Wiederholungen.
• überlegen, wie man den Gain der Gyros kalibriert. Wie kann man kontrollierte Drehungen in den drei Achsen durchführen?
• Implementierung der Accelerometer-Kalibrierung: Sensoren auf 6 verschiedene Seiten hinlegen, dann jeweils die 3D-Koordinaten der Accelerometer-Messung merken. Diese müssten auf der Oberfläche eines Ellipsoiden liegen, welcher "axis aligned" ist. Dieser Ellipsoid hat einen bestimmten Mittelpunkt (Accelerometer Bias) und verschiedene Ausdehnungen in X/Y/Z (Accelerometer Gains). Das müsste sich über ein linearen Gleichungssystem mit 6 Unbekannten lösen lassen.
• Die Orientierung sollte sich dank Erdanziehungskraft wenigstens ein bisschen korrigieren lassen, so dass oben/unten immer noch oben/unten bleibt -- vielleicht per Complementary Filter. -- Das klappt soweit ganz gut.
• Vielleicht kann man einen Fußgänger-Modus einführen, der die Schritte per auf/ab erkennt und damit die Geschwindigkeit besser ratet, als man die über die Accelerometer integrieren kann. Als Fußgänger wird es wahrscheinlich noch besser funktionieren, wenn man sich die Sensoren auf den Schuh klebt. Damit könnte man den Drift der integrierten Geschwindigkeit elemenieren, weil man ja weiß, dass sich der Fuß relativ zum Boden in bestimmten Phasen nicht bewegt. Das nennt man "Zero Velocity Update" oder auch kurz "ZUPT".
• Mit fertig kalibrierten Sensoren verschiedene Testmessungen mal durchführen, bei denen alles aufgezeichnet wird, beispielsweise mit den Sensoren am Schuh befestigt ein bisschen rumlaufen. 'ne Funkverbindung wäre dafür echt praktisch. Vielleicht bekommt Alex ja seinen BlueTooth-Chip zum laufen? :)

Was bisher sonst geschah

• Die Berechnungen der Orientierungen scheinen zu funktionieren. Auf dem Bildschirm dreht sich ein vereinfachtes 3D-Modell des Sensors so ähnlich wie der Sensor selbst. Der Gyro-Bias wird im Moment automatisch per Moving-Average betragsmäßig kleiner Drehgeschwindigkeiten bestimmt. Das bekommt man bestimmt noch besser hin mit dem Wissen über die Temperaturabhänigkeit der Gyros hin.

• (2013-02-12) Eine Online-Kalibrierung wurde in das Programm integriert, die wie folgt funktioniert: Zunächst kalibriert man Gyro-Bias und Accelerometer (Bias und Gain) indem man die 3 Objekt-Achsen jeweils nach oben und nach unten zeigen lässt und das Objekt dabei fixiert, dass es sich nicht bewegt. Durch drücken der P-Taste wird eine Punkt-Messung gestartet, die alle Sensorwerte solange mittelt, bis man die P-Taste wieder loslässt. Danach werden die Kalibrierparameter Gyro-Bias und die der Beschleunigungssensoren entsprechend angepasst. Für die Kalibrierung der Beschleunigungssensoren gibt es einen kleinen Speicher von 6 Punkten, die die gemessenen Beschleunigungsvektoren speichert. Nach der Punktmessung wird der gemittelte Beschleunigungsvektor in einem Feld entsprechend der Orientierung gespeichert. Die grobe Orientierung wird einfach ermittelt, in dem geprüft wird, in welcher Achse der Vektor betragsmäßig maximal ist und welches Vorzeichen der Eintrag hat. Die Kalibrierparameter werden über einen Ellipsoid-Fit über diese 6 Punkte berechnet. Der Mittelpunkt dieses Ellipsoids entspricht dann dem Sensor-Bias für X/Y/Z-Achse und die Ausdehnungen des Ellipsoids entsprechen dann dem Wert, um den sich die Messdaten ändern, wenn eine Beschleunigung von 1g = 9.81m/s^2 hinzugefügt wird. Für die Kalibrierung der Gyro-Gains habe ich auch etwas ausprobiert: eine Winkelmessung. Man kann bestimmte Winkel ja mit dem Beschleunigungssensor messen. Diese Winkel lassen sich dann mit den Winkeln vergleichen, die man indirekt über die Gyros ermittelnt kann. Allerdings ist mein Vertrauen in diese Prozedur noch nicht besonders hoch.

Messungen

Keine Bewegung mit sich ändernder Temperatur

Gyro-Bias Rohdaten

• 

  Beschleunigungssensoren

• 

  Gyroskope

Beschreibung des Experiments

Alex' MPU6050 wurde abwechselnd auf die Heizung und auf die kalte Fensterbank gelegt und da jeweils eine Weile liegen gelassen. Die Gyros wurden im 250°/s-Modus betrieben (lösten etwa +/-250°/s mit 16 Bit auf) und die Beschleunigungssensoren wurden im 2g-Modus betrieben (lösten etwa +/-2g mit 16 Bit auf).

Ergebnis

Wie man deutlich sehen kann, ist der Bias der Gyros stark temperaturabhängig. Ihr Rauschverhalten scheint sich dabei nicht nennenswert zu ändern. Die zeitlich lokale Streuung der Messdaten wurde bestimmt und als Fehlerbalken (2-Sigma) dargestellt. Die Beschleunigungssensoren zeigen verschiedene Beschleunigungen aufgrund der Erdanziehung und der variierenden Orientierungen in den verschiedenen Phasen. Ihre Ausgabe ist weitestgehend konstant über der Temperatur.

Streuungen	X	Y	Z
Accelerometer	0.029 m/s^2	0.029 m/s^2	0.043 m/s^2
Gyroskope	0.09 °/s	0.11 °/s	0.09 °/s

Dies sind die RMS-Werte der Schwankungen. Die Abtastrate lag bei etwa 666 Hz. Unter der optimistischen Annahme von weißem Rauschen würde das einem Random Walk von

0.17 °/s / sqrt(666 Hz) = 0.0065874 °/sqrt(s) = 0.051026 °/sqrt(min) = 0.39524 °/sqrt(hr)

und

0.06 m/s^2 / sqrt(666 Hz) = 0.138 m/s/sqrt(hr)

ergeben. Allerdings ist das Rauschen bekannterweise nicht weiß sondern bei den tiefen Frequenzen stärker, was bedeutet, dass der tatsächliche RW-Wert höher sein wird. Ich schätze mal, dass wir eher bei 1 bis 2 °/sqrt(hr) liegen werden, also, dass nach Integrieren über eine Stunde der rausch-induzierte Fehler der Orientierung eine Streuung von etwa 1 bis 2 Grad und der Fehler der Geschwindigkeit eine Streuung von etwa 0.5 m/s haben wird.

Bisher Gelerntes

• Die Rodrigues-Formel für Rotationsmatrizen ist 'ne tolle Sache
• Man kann leichte Rundungsfehler einer Rotationsmatrix relativ schnell reduzieren
• Die Gyroskope haben einen stark temperaturabhängigen Bias, weswegen da auch ein Temperatursensor eingebaut ist
• Random Walk (so pflanzen sich Messfehler fort)
• Der Random-Walk-Wert lässt sich aus der spektralen Leistungsdichte des Rauschens bei 0 Hz unabhängig von der Abtastrate ausrechnen
• Die Gyroskope scheinen relativ wenig zu rauschen.
• Verfahren für Kalibrierung von Gyro-Bias und Beschleunigungssensoren implementiert.
• Die Berechnung der Positionsdaten erfordert eine sehr genaue Kalibrierung aller Sensoren, inklusive der Gyrpskope mit ihren Gains. Die Erdbeschleunigung macht einem da gerne einen Strich durch die Rechnung. Die muss man ja rausrechnen, was nicht klappen wird, wenn all die Sensoren nicht gut genug kalibriert sind.